OpenCV中的相机模型

简要整理了一下OpenCV中的相机模型

最基础的就是小孔成像模型，简要描述一下。对于一个在相机坐标系下的点$(X,Y,Z)$，其通过小孔投影到归一化平面上的坐标为

$\begin{aligned} x &= X / Z \\ y &= Y / Z \end{aligned}$

但是实际中由于镜头曲面和装配的原因会导致图像产生畸变。OpenCV中考虑了径向畸变和切向畸变。

径向畸变是指成像装置边缘的畸变，远离透镜中心的区域比透镜中心光线更弯曲，是由透镜曲面造成。对于径向畸变OpenCV中使用这样的公式：

$\begin{aligned} x_{distorted} &= x(1 + k_1r^2 + k_2r^4 + k_3r^6) \\ y_{distorted} &= y(1 + k_1r^2 + k_2r^4 + k_3r^6) \end{aligned}$

如果考虑得再多一点，$k4-k6$有值的话，公式如下：

$\begin{aligned} x_{distorted} &= x\frac{1 + k_1r^2 + k_2r^4 + k_3r^6}{1 + k_4r^2 + k_5r^4 + k_6r^6} \\ y_{distorted} &= y\frac{1 + k_1r^2 + k_2r^4 + k_3r^6}{1 + k_4r^2 + k_5r^4 + k_6r^6} \end{aligned}$

可见径向畸变是对称的。

切向畸变是指装配中透镜和成像平面不平行造成的畸变。切向畸变的表达式为：

$\begin{aligned} x_{distorted} &= x + [2 p_1 xy + p_2 (r^2 + 2 x^2)] \\ y_{distorted} &= y + [p_1 (r^2 + 2y^2) + 2 p_2 xy] \end{aligned}$

以上公式中， $[k_1, k_2, k_3, k_4, k_5, k_6, p_1, p_2]$为畸变参数，$r^2 = x^2 + y^2$。

将上面的内容合并起来，径向畸变和切向畸变一起考虑，可以得到

$\begin{aligned} x_{distorted} &=x\frac{1 + k_1r^2 + k_2r^4 + k_3r^6}{1 + k_4r^2 + k_5r^4 + k_6r^6} + [2 p_1 xy + p_2 (r^2 + 2 x^2)] \\ y_{distorted} &= y\frac{1 + k_1r^2 + k_2r^4 + k_3r^6}{1 + k_4r^2 + k_5r^4 + k_6r^6} + [p_1 (r^2 + 2y^2) + 2 p_2 xy] \end{aligned}$

这是最常用到的畸变模型了，一般来说用到的畸变模型也就到此为止。

在OpenCV中畸变参数的排列为$(k_1, k_2, p_1, p_2 [,k_3[,k_4, k_5, k_6[,s_1,s_2,s_3,s_4[,\tau_x, \tau_y]]]])$，包含的元素个数必须为4、5、8、12或者14。

剩下的6个参数使用相对比较少一点，这里不具体描述。详细内容可以参考OpenCV官方文档。