Laplace 和 Poisson | HyperPlane

Laplace 和 Poisson

Laplace和Poisson这两个等式分别有非常简单的形式,

Δf=0\Delta f = 0

Δf=divg\Delta f = \text{div} \mathbf{g}

ff为函数,g\mathbf{g}为向量场。这是两个偏微分方程。

离散偏微分

先考虑一个离散标量函数f(x,y):N×N[0,1]f(x,y): N \times N \rightarrow [0,1],定义在一个离散有限的栅格上,其中xxyy都是整数,ff值是[0,1][0,1]之间的实数。比如这个函数可以表示图像亮度。一种定义ff的离散偏导为

fx(x,y)=f(x+1,y)f(x,y)f_x(x,y) = f(x+1, y) - f(x,y)

fy(x,y)=f(x,y+1)f(x,y)f_y(x,y) = f(x, y+1) - f(x,y)

假设f(x,y)f(x,y)是定义在平面上的连续可导函数,那么使用泰勒展开很容易可以看出这些等式接近函数的一阶导。当栅格空间趋近于0或者高阶导数趋近于0的时候,这个近似会变得更加精确。同时离散偏导定义不止这一个形式。由偏导组成的向量为梯度向量,[fx(x,y),fy(x,y)][f_x(x,y), f_y(x,y)],符号为f(x,y)\nabla f(x,y)

Poisson等式

泊松等式允许我们构造一个给定方向导数和一些其他约束的函数。在2D离散场景中给定一个向量场,比如两个函数u(x,y)u(x,y)v(x,y)v(x,y),来定义图像f(x,y)f(x,y)的梯度。理想情况下,我们需要找到函数f(x,y)f(x,y)使得fx(x,y)=u(x,y)f_x(x,y)=u(x,y)fy(x,y)=v(x,y)f_y(x,y)=v(x,y)。但是对于每一个点都有两个约束,因此该方程是超定的。更正式的,离散函数ff被定义为如下问题的解:

minfx,y(fx(x,y)u(x,y))2+(fy(x,y)v(x,y))2\min_f \sum _{x,y} (f_x(x,y) - u(x,y))^2 + (f_y(x,y) - v(x,y))^2

对于未知量差分这个cost function,并使之为0,有 (还没有搞清楚为什么这么操作)

fx(x,y)u(x,y)fx(x1,y)+u(x1,y)f_x(x,y) - u(x,y) - f_x(x - 1, y) + u(x - 1, y)

fy(x,y)v(x,y)fy(x,y1)+v(x,y1)=0f_y(x,y) - v(x,y) - f_y(x, y - 1) + v(x, y - 1) = 0

f(x+1,y)2f(x,y)+f(x1,y)+f(x,y+1)2f(x,y)+f(x+1,y) - 2f(x,y) + f(x-1,y) + f(x,y+1) - 2f(x,y) +

f(x,y1)u(x,y)+u(x1,y)v(x,y)+v(x,y1)=0f(x, y-1) - u(x,y) + u(x-1,y) - v(x,y) + v(x, y-1) = 0

则有

fxx(x,y)+fyy(x,y)=ux(x,y)+vy(x,y)f_{xx}(x,y) + f_{yy}(x,y) = u_x(x,y) + v_y(x,y)

因此可以看成离散版本的Poisson方程

Δf(x,y)=div[u(x,y),v(x,y)]\Delta f(x,y) = \text{div}[u(x,y), v(x,y)]

其中Δf(x,y)\Delta f(x,y)表示离散Laplace,div\text{div}表示离散散度操作符。这个关系在Laplace等式上更轻量,对应的离散版本为

Δf(x,y)=0\Delta f (x,y) = 0

这个等式在寻找一个函数f(x,y)f(x,y)在邻近点之间有最小的变化。类似的,Poisson方程尝试去寻找一个函数,其梯度最接近一些等式右边给定的向量场;并且Laplace等式在最小二乘下寻找一个带有最小梯度场的函数。

边界条件

对于上面的方程,显然没有唯一解。任何一个常数偏移加在f(x,y)f(x,y)上都是一个有效的解。为了让解唯一,我们需要增加边界条件,能约束等式的解集。有几种常用的边界条件,这里简要的描述两种:

  • Dirichlet(或第一类)边界条件,确定了解f(x,y)f(x,y)在值域边界需要取的值
  • Neumann(或第二类)边界条件,确定了解在值域边界的法线偏导fn^=f(x,y),n^\frac{\partial f}{\partial \hat{\mathbf{n}}} = \langle \nabla f(x,y), \hat{\mathbf{n}} \rangle

需要注意的是,在一些离散设置的假设中,这些条件是等价的。同时需要注意的是,混合这两种条件的情况也是存在的。