Laplace 和 Poisson

Laplace和Poisson这两个等式分别有非常简单的形式，

$\Delta f = 0$

$\Delta f = \text{div} \mathbf{g}$

$f$为函数，$\mathbf{g}$为向量场。这是两个偏微分方程。

离散偏微分

先考虑一个离散标量函数$f(x,y): N \times N \rightarrow [0,1]$，定义在一个离散有限的栅格上，其中$x$和$y$都是整数，$f$值是$[0,1]$之间的实数。比如这个函数可以表示图像亮度。一种定义$f$的离散偏导为

$f_x(x,y) = f(x+1, y) - f(x,y)$

$f_y(x,y) = f(x, y+1) - f(x,y)$

假设$f(x,y)$是定义在平面上的连续可导函数，那么使用泰勒展开很容易可以看出这些等式接近函数的一阶导。当栅格空间趋近于0或者高阶导数趋近于0的时候，这个近似会变得更加精确。同时离散偏导定义不止这一个形式。由偏导组成的向量为梯度向量，$[f_x(x,y), f_y(x,y)]$，符号为$\nabla f(x,y)$。

Poisson等式

泊松等式允许我们构造一个给定方向导数和一些其他约束的函数。在2D离散场景中给定一个向量场，比如两个函数$u(x,y)$和$v(x,y)$，来定义图像$f(x,y)$的梯度。理想情况下，我们需要找到函数$f(x,y)$使得$f_x(x,y)=u(x,y)$且$f_y(x,y)=v(x,y)$。但是对于每一个点都有两个约束，因此该方程是超定的。更正式的，离散函数$f$被定义为如下问题的解：

$\min_f \sum _{x,y} (f_x(x,y) - u(x,y))^2 + (f_y(x,y) - v(x,y))^2$

对于未知量差分这个cost function，并使之为0，有 （还没有搞清楚为什么这么操作）

$f_x(x,y) - u(x,y) - f_x(x - 1, y) + u(x - 1, y)$

$f_y(x,y) - v(x,y) - f_y(x, y - 1) + v(x, y - 1) = 0$

$f(x+1,y) - 2f(x,y) + f(x-1,y) + f(x,y+1) - 2f(x,y) +$

$f(x, y-1) - u(x,y) + u(x-1,y) - v(x,y) + v(x, y-1) = 0$

则有

$f_{xx}(x,y) + f_{yy}(x,y) = u_x(x,y) + v_y(x,y)$

因此可以看成离散版本的Poisson方程

$\Delta f(x,y) = \text{div}[u(x,y), v(x,y)]$

其中$\Delta f(x,y)$表示离散Laplace，$\text{div}$表示离散散度操作符。这个关系在Laplace等式上更轻量，对应的离散版本为

$\Delta f (x,y) = 0$

这个等式在寻找一个函数$f(x,y)$在邻近点之间有最小的变化。类似的，Poisson方程尝试去寻找一个函数，其梯度最接近一些等式右边给定的向量场；并且Laplace等式在最小二乘下寻找一个带有最小梯度场的函数。

边界条件

对于上面的方程，显然没有唯一解。任何一个常数偏移加在$f(x,y)$上都是一个有效的解。为了让解唯一，我们需要增加边界条件，能约束等式的解集。有几种常用的边界条件，这里简要的描述两种：

• Dirichlet（或第一类）边界条件，确定了解$f(x,y)$在值域边界需要取的值
• Neumann（或第二类）边界条件，确定了解在值域边界的法线偏导$\frac{\partial f}{\partial \hat{\mathbf{n}}} = \langle \nabla f(x,y), \hat{\mathbf{n}} \rangle$

需要注意的是，在一些离散设置的假设中，这些条件是等价的。同时需要注意的是，混合这两种条件的情况也是存在的。