对偶四元数基础

对偶四元数将平移和旋转放在同一个状态量中，而不是将它们分开。对偶四元数形式上由对偶数和四元数的概念组合而成。

对偶数

对偶数于复数类似由两部分组成，但是并不是同一个东西，具体来看。对偶数可以写成

$z = r + d \varepsilon$

其中$r$为实部，$d$为对偶部；$\varepsilon$为对偶算子，表示$\varepsilon^2 = 0$但是$\varepsilon \neq 0$。和复数类似，$i$是用来区分实部和虚部的，但是$\varepsilon$和$i$的实际意义不一样。

基本运算

对偶数加法

$(r_A + d_A \varepsilon) + (r_B + d_B \varepsilon) = (r_A + r_B) + (d_A + d_B)\varepsilon$

对偶数乘法

$\begin{aligned} (r_A + d_A \varepsilon)(r_B + d_B \varepsilon) &= r_Ar_B + r_Ad_B\varepsilon + r_Bd_A\varepsilon + d_Ad_B\varepsilon^2 \\ &= r_Ar_B + (r_Ad_B + r_Bd_A)\varepsilon \end{aligned}$

对偶数除法

$\begin{aligned} \frac{(r_A + d_A \varepsilon)}{(r_B + d_B \varepsilon)} &= \frac{(r_A + d_A \varepsilon)}{(r_B + d_B \varepsilon)} \frac{(r_A - d_A \varepsilon)}{(r_B - d_B \varepsilon)} \\ &= \frac{r_Ar_B + (r_Bd_A - r_Ad_B)\varepsilon}{(r_B)^2} \\ &= \frac{r_Ar_B}{r_B^2} + \frac{r_Bd_A - r_Ad_B}{r_B^2}\varepsilon \end{aligned}$

加法和乘法都都很普通没什么意思，这个除法可以注意一下，分母是被除数实部的平方。

对偶数微分

基本形式上没有什么特别的

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}} \mathbf{s}(x) = \lim_{\delta x \rightarrow 0}\frac{\mathbf{s}(x + \delta x) - \mathbf{s}(x)}{\delta x}$

对偶数的导数是另一个对偶数，参考对偶数除法。
值得注意的是，对偶数的对偶算子条件是$\varepsilon^2 = 0$，这给我们使用泰勒展开带来了相当多的便利。

$\begin{aligned} f(r_A + d_A\varepsilon) &= f(r_A) + \frac{f'(r_A)}{1!}d_A\varepsilon + \frac{f''(r_A)}{2!}(d_A\varepsilon)^2 + \frac{f'''(r_A)}{3!}(d_A\varepsilon)^3 + \dots \\ &= f(r_A) + f'(r_A)d_A\varepsilon \end{aligned}$

注意，这里是等于哦，不是约等于哦。不需要什么去掉多阶项线性化，展开就只有一阶项。

四元数

（都是Hamilton）
四元数是复数的一个扩展，基本形式为：

$\mathbf{q} = w + (x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k})$

$\mathbf{q} = (w, \mathbf{v})$

每个元素含义的细节不说了，没啥好写的很多地方都有。

四元数计算

数乘，$s$是数值

$s \mathbf{q} = (sw, s\mathbf{v})$

加法

$\mathbf{q}_1 + \mathbf{q}_2 = (w_1 + w_2, \mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2)$

乘法

$\mathbf{q}_1 \mathbf{q}_2 = (w_1w_2 - v_1v_2, w_1\mathbf{v}_2 + w_2\mathbf{v}_1 + (\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2))$

共轭

$\mathbf{q}^* = (w, -\mathbf{v})$

模长

$\| \mathbf{q} \| = \mathbf{q} \mathbf{q}^*$

对于单位四元数而言，有$\|\mathbf{q}\| = 1$。单位四元数可以表示三维空间中绕轴$\mathbf{n}$旋转角度$\theta$的旋转：

$\mathbf{q} = (\cos(\frac{\theta}{2}), \mathbf{n} \sin (\frac{\theta}{2}))$

对偶四元数最大的优势就在于它插值特别顺滑。

对偶四元数

把对偶数和四元数结合起来，我们得到了对偶四元数

$\mathbf{q} = \mathbf{q}_r + \mathbf{q}_d \varepsilon$

其中$\mathbf{q}_r$和$\mathbf{q}_d$都是四元数。

对偶四元数计算

数乘

$s \mathbf{q} = s \mathbf{q}_r + s \mathbf{q}_d \varepsilon$

加法

$\mathbf{q}_1 + \mathbf{q}_2 = \mathbf{q}_{r1} + \mathbf{q}_{r2} + (\mathbf{q}_{d1} + \mathbf{q}_{d2})\varepsilon$

乘法

$\mathbf{q}_1\mathbf{q}_2 = \mathbf{q}_{r1} \mathbf{q}_{r2} + (\mathbf{q}_{r1}\mathbf{q}_{d2} + \mathbf{q}_{d1} \mathbf{q}_{r2})\varepsilon$

共轭

$\mathbf{q}^* = \mathbf{q}_r^* + \mathbf{q}_d^* \varepsilon$

模长

$\| \mathbf{q} \| = \mathbf{q} \mathbf{q}^*$

单位条件

$\begin{aligned} \|\mathbf{q}\| &= 1 \\ \mathbf{q}_r^* \mathbf{q}_d + \mathbf{q}_d^* \mathbf{q}_r &= 0 \end{aligned}$

单位对偶四元数是我们的关注重点，因为我们使用它来表示刚性变换。

与刚性变换关系

单位对偶四元数里面包含的刚性变换的信息为：

$\begin{aligned} \mathbf{q}_r &= \mathbf{r} \\ \mathbf{q}_d &= \frac{1}{2} \mathbf{tr} \end{aligned}$

其中$\mathbf{r}$是由单位四元数表示的旋转；$\mathbf{t}$是四元数表示的平移，$\mathbf{t} = (0,\overrightarrow{\mathbf{v}})$。

纯平移和纯旋转就不写了，简单推一推就有了。

和矩阵形式一样，对偶四元数表示多个刚性变换的结合也是连乘。

存在一个点$\mathbf{p}$，使用对偶四元数对它进行刚性变换的时候，计算公式和四元数类似，为

$\mathbf{p}' = \mathbf{qpq}^*$

其中$\mathbf{q}$和$\mathbf{q}^*$分别为对偶四元数表示的变换和它的共轭；$\mathbf{p}$和$\mathbf{p}'$分别为变换前和变换后的点。

参考文献

[1]B. Kenwright, “A Beginners Guide to Dual-Quaternions”